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La magie d'un carré de carrés

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Par publié le à 09h00

La solution de l'énigme du N°936 de septembre 2011

Rappel de l'énigme

Il est traditionnel et classique d'arranger les 9 premiers nombres en carré, de telle sorte que les lignes, les colonnes et les deux diagonales aient la même somme :


6     1     8

7     5     3

2     9     4
 

Les 8 alignements donnent tous la somme 15. Il n'existe d'ailleurs qu'une seule disposition possible, qui peut bien sûr être tournée et retournée sans perdre ses qualités.

Les amateurs de calculs plus complexes se sont posé le problème de remplacer les nombres par leurs carrés. Un carré qui serait bi-magique s'il comprenait tous les carrés d'entiers, de 1 à 81, de telle sorte que les lignes, les colonnes et les diagonales aient toutes la même somme.

Sans passer des heures à tâtonner pour arranger ces carrés en carré, saurez-vous déterminer si vous pouvez aboutir à une solution ?


La solution

La somme des 9 premiers carrés est :
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 = 285

S'ils sont arrangés en carré magique, chaque ligne a pour somme le tiers de 285, soit 95.

Or une des lignes contient 81. Cela laisse 95 - 81 = 14 pour la somme des deux carrés qui vont compléter la ligne. Comme il n'existe pas deux carrés dont la somme serait 14, la construction d'un carré magique avec les carrés des 9 premiers entiers est impossible.

 

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