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Tigre et mandarin

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Solution de l'énigme du N°908 de février 2009


Au départ, Chou est au centre O du cercle de rayon r. Le tigre est en un point quelconque A. Si Chou se dirige a sa vitesse v, vers le point B diamétralement opposé à A, il l'atteindra au bout du temps r/v.

Le tigre lui doit parcourir la distance ?r (le demi-cercle AB) ; comme sa vitesse est 4v il l'atteindra dans le temps ?r/4v. Ce temps est inférieur à r/v donc Chou se fait rattraper par le tigre ! Il ne peut donc pas sortir si simplement du cercle.

Voici une stratégie gagnante.

Chou parcourt sur le rayon OB la distance r/4. Le tigre se rapproche sur la circonférence d'un arc valant r, car il va 4 fois plus vite.

Chou alors s'arrête et commence à tourner sur le cercle de rayon r/4, dans le même sens que celui que le tigre a choisi. Chou parcourt donc une petite circonférence de longueur 2?r/4, soit ?r/2, à la vitesse v. Sa vitesse angulaire v/r vaut donc ?/2 radians.

Le tigre doit le suivre ; mais lui circule sur le grand cercle de circonférence 2?r à la vitesse 4v. On remarque donc que la vitesse angulaire des deux protagonistes est la même (?/2 radians). Quand Chou fait un quart de tour, le tigre ne peut faire mieux, lui aussi ne parcourt qu'un quart de tour.

Chou peut donc au départ, après avoir parcouru sur OB la distance r/4, revenir un peu en arrière à une distance (r/4)-?, ou s'arrêter directement à cette distance du centre. Dès lors, sur ce cercle de rayon (r/4)-?, sa vitesse angulaire de rotation devient supérieure à celle du tigre. Au fur et à mesure de sa rotation sur le petit cercle Chou va donc déphaser progressivement le tigre, qui se trouvera par exemple à nouveau en opposition à lui par rapport à O. Dans ce cas, Chou pourra repartir vers la circonférence sur le diamètre qui le relie au tigre. Il n'aura à parcourir que 3r/4 à la vitesse v. Il atteindra donc la circonférence au temps 3r/4v.

Le tigre lui, devra de nouveau parcourir la distance ?r, la demi-circonférence du grand cercle à la vitesse 4v. Il lui faudra donc un temps ?r/4v. Or ce temps, cette fois, est supérieur à 3r/4v.

Chou aura donc eu le temps de franchir le cercle de fer qui guide le tigre et de rejoindre maître Ling !

Il entrera sans une égratignure à l'école des mandarins.

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