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Solution de l'énigme du n°875 de février 2006


Arlette Shmutser a tiré un gain en dollars qui aura été multiplié en cas de victoire cinq fois par lui-même.

Nous recherchons donc le nombre X, tel que : X5 = 5 277 319 168

Autrement dit la racine cinquième d'un grand nombre.

Pour le trouver sans calculette, il suffit d'utiliser une astuce souvent utilisée par les calculateurs miracles. C'est une propriété de la puissance cinquième des nombres de 1 à 10, et par suite de tout nombre élevé à la puissance 5. En effet, et vous pouvez le vérifier aisément :

15 se termine par 1
25 se termine par 2
35 se termine par 3
45 se termine par 4
55 se termine par 5
65 se termine par 6
75 se termine par 7
85 se termine par 8
95 se termine par 9

Le nombre 5 277 319 168 est plus petit que 10 milliards. Or 10 000 000 000 = 1010 ou 1005 . Le gain tiré par Arlette est donc inférieur à 100 $.

Il est même compris entre 80 et 90 ce qui se calcule facilement de tête en minorant 905 :

902 = 8 100 > 8 103    -> (8 103)2    = 64 106 > 6 107  -> 6 107 x 90 = 54 108
soit 5,4 milliards, plus grand que le gain prévu.

Donc Arlette à tiré un nombre situé entre 80 et 90 $. Mais dans ces nombres, seul 88 élevé à la puissance cinq se termine par 8.

Le nombre cherché est donc 88 et le gain initial : 88 $

Paul Wagner

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