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Solution de l'énigme du n°891 de juillet 2007


Voici trois cercles passant par un point P. Et le cercle passant par les trois autres points d'intersections.



Appelons x le rayon commun des trois premiers cercles, I, J et K leurs centres et Q, R et S les autres points d'intersections. 
 



On remarque d'abord que les quadrilatères PIQJ, PJRK et PISK, sont des losanges de coté x.
PI, PJ et PK peuvent être considérés comme les arêtes d'un coin de cube de sommet P représenté en perspective cavalière (pour les matheux, c'est le théorème de Pohlke).

Dans cette même perspective, les losanges PIQJ, PJRK et PISK sont trois faces de ce cube dont on voit 7 sommets et 9 arêtes. Toutes ces arêtes ont pour longueur x.

Finissons la perspective cavalière du cube en construisant le losange JQLR qui permet de faire 'apparaître' les autres faces du cube. L est à la distance x de Q et R et de S.

Conclusion : L est donc le centre du cercle passant par Q, S et R, et le rayon de ce cercle est également, x.

Paul Wagner





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