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Les triangles de Pythagore

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°925 de septembre 2010

Rappel de l'énigme

Les trois carrés juxtaposés dans la figure mettent en scène les angles de trois triangles rectangles.

Un de ces triangles est isocèle, avec deux côtés égaux. Dans un deuxième triangle, un côté est le double de l'autre. Dans un troisième triangle, un côté est le triple de l'autre.


                                 

A l'œil, il semble bien que l'angle du premier triangle est la somme des angles marqués des deux autres triangles et cette intuition est vraie. Il y a de nombreuses manières de le démontrer, certaines plus complexes que d'autres.

Il se trouve qu'une des démonstrations possibles est extrêmement simple. Elle est tellement pratique et évidente qu'elle pourrait se passer d'une explication car elle saute littéralement aux yeux.

Quelle est cette démonstration simplissime ?


La solution

Il suffit de disposer les carrés de manière à superposer les angles :
 

                                   


On voit bien que l'angle du triangle isocèle 2 sur 2 est la somme de l'angle du triangle 1 sur 3 et de celui du triangle 1 sur 2 (dessiné par homothétie en diagonal).
 

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