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Solution de l'énigme du n°892 de septembre 2007


Comment déterminer le nombre inconnu des faussaires et comment les identifier à coup sûr en une seule pesée ? Ce joli problème a été concocté par mon ami Jean Brette.

Les neuf orfèvres ont tous fabriqués, en principe des feuilles d'or de un gramme ; mais certains ont trichés en ne fournissant que des feuilles de 0,9 gramme.

Numérotons les orfèvres en leur donnant un rang arbitraire : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Nous commençons par zéro... c'est notre droit (et plus commode pour la démonstration).

Et maintenant prenons 1 feuille dans le sac de cet orfèvre (numéro zéro), 2 dans le sac de l'orfèvre numéro 1, 4 dans le sac du numéro 2, 8 dans le sac du numéro trois, 16... etc.

On double à chaque fois le nombre de feuilles prélevées : bref on prend 2n feuilles dans le sac de l'orfèvre de rang n.

Et on les pèse toutes ensembles ! Ce sera notre seule pesée.

Pour les 9 orfèvres on a donc prélevé :
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 +26 + 27 + 28 feuilles (ou 1 + 2 + 4 + 8... +  256)
Cette somme vaut 511.... (29 - 1) pour les matheux.

Si chaque feuille pesait comme il se doit, 1 gramme, la balance indiquerait 511 g. Comme il y a des faussaires, on trouve forcément moins.

Supposons que la balance indique 493,2 grammes (au hasard). Peut importe le chiffre indiqué par la balance, le raisonnement est toujours le même.

Cela signifie que 17,8 grammes d'or ont disparu. Ou si l'on préfère que 178 dixièmes de gramme ont disparu (puisque les escrocs gagnent à chaque fois 1/10 de gramme).

Ecrivons le nombre 178 sous la forme d'une somme de puissances de 2 distinctes :

La plus grande puissance de 2 inférieure à 178 est 128 = 27. On a donc 178 = 27 +50.

La plus grande puissance de 2 inférieure à 50 est 32 = 25. On a donc 178 = 27 + 25 + 18.

Comme 18 =16 + 2 = 24 + 21, on trouve finalement  la décomposition :178 = 27 + 25 + 24 + 21

Or cette décomposition est unique. Donc les faussaires dans cet exemple sont les orfèvres numéro 1, 4, 5 et 7. Si vous préférez, la seule façon de trouver qu'il manque 178 dixièmes de gramme est que les faussaires de rang 1, 4, 5 et 7 soient ceux qui ont triché. Non seulement on sait qu'il y a quatre faussaires, mais on sait aussi lesquels ! Magnifique.

C'est une très jolie utilisation de l'écriture des nombres en binaire. 178 s'écrit : 10110010 (les faussaires sont indiqués par les 1 en comptant le rang de ces 1, en commençant par zéro et en comptant de droite à gauche).

Evidemment on pourrait décomposer en base trois en prenant 30, 31, 32, etc. feuilles d'or à chaque orfèvre. Mais pourquoi faire compliqué quand on peu faire simple !

Paul Wagner

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