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Les noix de Kerba

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Solution de l'énigme du n°874 de janvier 2006

Le problème des noix et du singe, transposé ici sur la planète Kerba, en hommage à l'écrivain de science fiction Schekley, est ancien. Martin Gardner, le célèbre problémiste raconte qu'une de ses variantes fut publiée en 1926 dans le Saturday Evening Post par Ben Ames Williams. La solution ne fut pas donnée et une avalanche de lettres submergea la rédaction du journal...

Ce problème simple en apparence fait partie des casse-tête diophantiens, du nom du mathématicien grec Diophante d'Alexandrie qui étudia le premier les équations dont les solutions sont des nombres rationnels.

Le problème des noix revient à résoudre un système de 6 équations très facile à poser :

Si N est le nombre de noix au départ (celui que l'on cherche), on peut écrire après le premier partage :
(1)  N = 5a + 1 où a est le nombre de noix de chacun des tas issus du partage.
Puisqu un tas est donné au dieu Krouhm et la noix restante au singe, il reste 4a noix.

Et on obtient au deuxième partage :

(2)  4a = 5b +1

Puis successivement :
(3)  4b = 5c +1
(4)  4c = 5d +1
(5)  4d = 5e +1
(6)  4e = 5f +1 

où b, c, d, e, f, représentent le nombre de noix de chacun des partages successifs en 5.

Par une méthode ordinaire de substitution, de type :
N = 5 (5b + 1) + 1      d'où  4N = 25b + 9
                 4
Puis :
4N = 25 (5c + 1) + 9   d'où 16N = 125c +  61   ...
                      4

On obtient au final :
(7)  1024 N = 15625 f + 11529        (ou 210N =  56 f + 11529)

Martin Gardher reconnaît lui-même que cette équation est difficile à résoudre par tâtonnements ! Il existe des méthodes de résolutions, à l'aide de fractions continues, mais elles sont fastidieuses.

En revanche, le célèbre chroniqueur américain cite une extraordinaire solution d'une grande simplicité qui repose sur le concept de "noix négatives" !

On attribue parfois cette solution au physicien et prix Nobel anglais Paul Dirac. Mais Martin Gardner qui prit la peine d'appeler le prix Nobel, nous dit que Paul Dirac prétendait tenir sa solution du mathématicien anglais J.H.C. Whitehead, qui avoua la tenir d'un autre...

Quoi qu'il en soit, comment a raisonné l'inventeur des "noix négatives" selon Martin Gardner ?

Comme ceci : en remarquant que si l'on ajoute 56 à la solution, (56 = 15625), on obtient la solution immédiatement supérieure, en effet :

1024 (N + 56) = 56 (f + 1024) + 11529  

Ce qui signifie que le couple (N + 56) et (f + 1024) est aussi solution de l'équation (7).
Et que l'on trouve une infinité de solution en ajoutant à chaque fois 56.

Mais, et voilà le coup de génie, si l'on enlève 56 à la solution (et autant de fois qu'on le veut) on obtiendra une infinité de solutions négatives, qui satisferont à l'équation posée mais pas au problème concret qui exige de vraies noix !

Question : il n'existe pas de petite valeur positive de N, mais existe-t-il une solution négative qui soit petite ? Et bien oui. Et on peut la trouver -facilement- par tâtonnements, c'est : - 4 !

En effet :

Si le premier magobien s'approche du tas de - 4 noix, qu'il donne une noix positive au singe (peut importe qu'il la donne avant ou après le partage), il reste alors - 5 noix. Le magobien partage les - 5 noix en cinq tas de - 1 noix, en met un sur l'autel du dieu Krouhm. Et rassemble les 4 tas restants soit 4 x (-1) = - 4.

- 4, exactement le même tas qu'au début de l'opération !

Les autres mabogiens et Jason Spott pratiquant de même, au final, le singe partira avec 6 noix positives (au terme du sixième partage) et les récolteurs avec une noix négative chacun ; et il y aura 5 noix négatives sur l'autel du dieu Krouhm (issues des 5 premiers partages).

Mais qu'importe, - 4 est solution de l'équation !

Donc, (si l'on ajoute 56) : - 4 + 15625 est aussi solution.
Donc, N = 15621 !

Remarque :

Résoudre le problème classiquement est fastidieux et difficile, indiquait Martin Gardner.
Mais lorsque j'ai posé ce problème à mon ami François Etner (professeur d'économie et mathématicien de formation), il s'est empressé de le résoudre classiquement avec élégance !

Voici sa méthode :

Au lieu de remplacer successivement (et bêtement ?) les termes, dans les 6 équations de départ, François Etner manÅ“uvra ainsi  (en posant N = y0, a = y1, b = y2, ...f = y6) :

   y0 - 1  = 5 y1
4 y1 - 1  = 5 y2
4 y2 - 1  = 5 y3
4 y3 - 1  = 5 y4
4 y4 - 1  = 5 y5
4 y5 - 1  = 5 y6

En multipliant la deuxième équation par 5/4, la troisième par (5/4)2, la quatrième par (5/4)3, la cinquième par (5/4)4 et la sixième par (5/4)5, et en additionnant membre à membre, il obtint (en posant aussi x = 5/4 pour faciliter l'écriture) :

y0 - (1 + x + x2 + x3 + x4 +x5) = 5 y6 x5
Ce qui s'écrit en remarquant que la somme des termes d'une suite géométrique de raison q est : 

1 - qn+1 :
1 - q

y0  =  5 x5 y6  +  1 - x6    =   5 x5 y6  +  x6 - 1 
                            1 - x                                ¼

Soit en remplaçant quand c'est utile x par 5/4 :

y0  =   5 x5 y + 4 (x6 - 1 )  =  4 x6 y + 4 (x6 - 1 )

y0  =  4 x6 (y6 + 1 )  - 4

Soit :

y0  =   4 (5/4)6 (y6 + 1 )  - 4

Pour que cette expression ai une solution entière il faut que (y6 + 1) soit entier et égal à 45 (car 4 et 5 sont premiers entre eux) soit 1024. D'où y6 = 1023.

Et y0 =  56 - 4   = 15621 !

Paul Wagner


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