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Les bilboquets d'Henri III

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Solution de l'énigme du n°877 d'avril 2006


Voici un problème surprenant.

Notons d'abord que si les bilboquets sont tous tournés dans le même bois et que toutes les sphères percées ont même poids, c'est qu'elles ont toutes même volume.

Comment cela est-il possible, quel que soit le diamètre des sphères ? Et quel est ce volume ?

Une façon très élégante de trouver la solution à ce problème est de faire confiance à celui qui l'a posé. C'est-à-dire d'admettre, sans le démontrer, que toutes les sphères percées de cette manière ont effectivement même volume.

Cela signifie aussi, comme l'a remarqué Maître Ekart, que le diamètre du trou cylindrique varie évidemment en fonction du diamètre des sphères. Donc que le volume cherché est indépendant du diamètre du trou cylindrique.

Dès lors, le résultat est simple à trouver.

Il suffit de réduire par la pensée le dit diamètre. Et de le réduire à ... zéro. Dans ce cas le trou est tout simplement confondu avec un diamètre de la sphère. Et ce dernier mesure 3 pouces (il est confondu avec la génératrice du cylindre).

Remarquons au passage que les sphères font forcément plus de 3 pouces de diamètre (ou 3 pouces au minimum), faute de quoi, en deçà de cette dimension, on ne pourrait pas y percer un cylindre de 3 pouces de long.

La sphère minimale que nous avons trouvée à donc 3 pouces de diamètre et son volume est tout simplement :



Avec R = 1,5 pouces  (D = 3 pouces), le volume en pouces cubiques est donc :




Comme la densité du chêne de Poitiers est de 10 g/pouces cubiques, le poids commun de toutes les sphères de bilboquet est de :



Soit environ 141 g

Remarque 1 :


Le volume trouvé est indépendant de la taille de la sphère. Prenons une sphère imaginaire de la taille de la Terre. Si on y perçait un trou cylindrique de telle sorte que la génératrice du cylindre mesure 3 pouces -soit une distance de 1,5 pouces de chaque coté de l'équateur, vous imaginez que l'on éviderait pratiquement toute la terre pour ne conserver qu'une minuscule bague de pratiquement 40 000 km de diamètre, mais de volume (en pouces cubiques) !

Remarque 2 :

Le mathématicien curieux voudra évidemment démontrer le résultat.

Dans ce cas il suffit de prendre les formules suivantes :

Volume d'une sphère de rayon R :  
Volume d'un cylindre de génératrice a et de rayon r :
Volume d'une calotte sphérique de hauteur h et de rayon r (rayon de sa base) : 

Le volume cherché des bilboquets percés est :
V = Vs  - Vc - 2 Vcal

En remarquant d'abord que par construction, R2 = a2 + r2, puis en effectuant le calcul, vous constaterez que R, r et h s'éliminent (!) ; et que le volume cherché vaut finalement :



Etonnante propriété de la sphère percée par un cylindre.

Paul Wagner

 


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