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Les actions Vivendi

Rédaction Industrie et Technologies

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Solution de l'énigme du n°856 de mars 2004
Nous cherchons un nombre, appelons-le n, soit le nombre d'actions Vivendi que possède Jean-Marie Lapoire. Il est tel que, si on le divise successivement par 2,3,4,5,6,7,8 et 9, on obtient des restes de division qui sont successivement : 1,2,3,4,5,6,7 et 8.
Pas évident...
A moins de raisonner astucieusement, c'est-à-dire de rechercher non pas le nombre n directement, mais plutôt le nombre... n+1 !
En effet, si l'on ajoute 1 à n, le nouveau nombre est, lui, divisible successivement par : 2,3,4,5,6,7,8 et 9, puisque à chaque fois il manquait 1 à n pour être divisible.
Reste à trouver la plus petite des valeurs de n+1. C'est tout simplement le ppcm (le plus petit commun multiple, rappelez-vous...) des nombres 2,3,4,5,6,7,8 et 9.
Ecrite en décomposition de nombre premier cette suite de diviseur s'écrit :
2, 3, 22, 5, 2x3, 7, 24, 32.
Le ppcm vaut donc : 5 x 7 x 24x 32 ce qui est égal à : 5 x 7 x 8 x 9 = 35 x 72 = 2520
n+1 = 2520 donc n = 2519
Pour ceux qui ont oublié le ppcm, le pemier nombre divisible par 2,3,4,5,6,7,8 et 9 est bien le produit : 5 x 7 x 8 x 9, car ce nombre est bien entendu divisible aussi par 2, 3, 4 et 6, puisque il est divisible par 8 et 9.

NB: Le nombre suivant possédant la propriété voulue est (2520 x 2) - 1 soit 5039 ; il est supérieur à 3000, il n'y a donc qu'une seule solution au problème posé.

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