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Les 12 émeraudes du maharajah

Rédaction Industrie et Technologies

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Découvrez l'énigme parue dans le numéro de novembre ainsi que la solution du quizz.

Le maharajah de Saharanpur a onze filles. Pour le vingtième anniversaire de son règne, il décide d'offrir à chacune d'elles une émeraude.

Cela tombe bien il en possède douze, taillées à l'identique et de 20 carats chacune, sauf une, qui est d'un poids légèrement différent. Il ignore toutefois quelle émeraude est défectueuse et il ne sait même pas si elle est plus lourde ou plus légère que les autres.
Père affecteux et juste, il ne veut léser aucune de ses filles.
Par chance, il possède une balance à fléau très précise. Malheureusement il ne dispose d'aucune boite de poids et sa balance très ancienne se cassera s'il effectue plus de trois pesées.

N.B
Pour chaque pesée, il ne peut donc mettre que des émeraudes sur les plateaux de sa balance...

Comment le maharajah peut il déterminer en trois pesée seulement, quel est l'émeraude défectueuse ? Et dire, en outre, si elle est plus lourde ou plus légère que les onze autres ?

SOLUTION DE L'ENIGME
Pour déterminer quelle est la mauvaise émeraude, il faut pour la 1ère pesée placer quatre émeraudes sur chacun des deux plateaux de la balance et en mettre donc quatre de coté. (A défaut de disposer d'émeraudes, faites un petit schéma).

Deux cas se présentent alors :

Soit les plateaux sont en équilibre et la pierre défectueuse se trouve dans les quatre pierres laissées de coté. Il faut donc déterminer en deux pesées quelle est la mauvaise.
Soit les plateaux sont en déséquilibre et il reste également deux pesées.

a) Cas de l'équilibre (les huit pierres déjà pesées sont toutes bonnes, on s'en servira).
Nous avons donc quatre émeraudes dont une seule est défectueuse ; numérotons-les 1, 2, 3, et 4 (et n'oublions pas que nous en avons huit bonnes).

Pour la 2ème pesée plaçons sur le plateau de gauche les émeraudes 1 et 2 et sur le plateau de droite l'émeraude 3 ainsi qu'une bonne émeraude prise dans celles de la première pesée. Nous avons laissée de coté la n°4.

Observons les plateaux de cette 2ème pesée.

Si il y a équilibre : la mauvaise est forcément la n°4. Il suffit pour la troisième pesée de la comparer à une bonne pour savoir si elle est plus lourde ou plus légère.

Si il y a déséquilibre et que le plateau de gauche est en bas (s'il est en haut le raisonnement est identique). Alors : la mauvaise pierre est soit la 1 ou la 2 et dans ce cas elle est plus lourde (plateau en bas) ; soit la 3 et elle est forcément plus légère (plateau en haut).

Il suffit donc pour la dernière pesée de comparer la 1 et la 2. S'il y a équilibre la mauvaise est forcément la 3 et elle est forcément plus légère. S'il y a déséquilibre entre la 1 et la 2, la mauvaise est la plus lourde des deux.

b) Cas du déséquilibre
Nous savons que la mauvaise pierre est sur les plateaux, et nous savons que le quatre émeraudes mises de coté à la 1ère pesée sont bonnes (elles vont servir).
Revenons aux huit émeraudes situées sur la balance en déséquilibre à la 1ère pesée.

Appelons 1, 2 ,3, et 4 celles du plateaux de gauche et 5, 6, 7 et 8 celles du plateau de droite. Supposons que le plateau de gauche soit en bas (le raisonnement serait identique s'il était en haut).

La 1ère pesée nous indique donc que si la mauvaise pierre est à gauche (parmi 1, 2 ,3, et 4), elle est forcément plus lourde ; et que si elle est à droite (parmi 5, 6, 7 et 8), elle est forcément plus légère.

Voici maintenant la seconde pesée qu'il faut effectuer :

Préparons pour le plateau de gauche les émeraudes 1 et 2 ainsi qu'une bonne émeraude appelée 0 (on en a quatre). On met donc de coté la 3 et la 4.

Préparons pour le plateau de droite la  5, la 6 et la 7. On met donc aussi de coté la 8.

On se prépare à comparer 1, 2 et 0 à gauche avec 5, 6 et 7 à droite. Mais on effectue avant une petite subtilité supplémentaire : on intervertit sur les plateaux l'émeraude 2 (qui passe à droite) avec la 7 qui passe à gauche.

Finalement on met trois émeraudes sur chacun des plateaux :

A gauche : la 1, la 7 et une 0 et à droite la 5, la 6 et la 2.

Trois cas se présentent alors :

-  Le déséquilibre de la balance change de sens ! (le plateau de droite passe en bas). Alors la mauvaise émeraude ne peut être que dans les deux pierres qui ont été interverties. C'est soit la 7 mais elle est forcément plus légère, soit la 2 mais elle est forcément plus lourde. Il suffit donc de comparer l'une des deux à une bonne émeraude pour être fixé.

-  Le déséquilibre demeure avec le plateau gauche toujours en bas. On sait que la mauvaise pierre est restée sur la balance mais que la 2 et la 7 sont hors de cause sinon le déséquilibre aurait changé de sens. C'est donc soit la 1 et elle est plus forcément plus lourde, soit la 5 ou la 6 et elle est forcément plus légère. Il suffit donc à la dernière pesée de comparer la 5 et la 6. S'il y a équilibre c'est la 1 la mauvaise et elle est forcément plus lourde ; S'il y a déséquilibre c'est la plus légère des deux la mauvaise.

Enfin, il y a équilibre. La mauvaise émeraude à donc été mise de coté. C'est donc la 3 la 4 ou la 8.  Mais si c'est la 3 ou la 4 elle est plus lourde. Si c'est la 8 elle est plus légère. Et là aussi on sait faire : il faut comparer pour la dernière pesée la 3 à la 4.

Ouf ! Faites des petits schémas, la solution est plus facile à comprendre.


SOLUTION DU QUIZZ DU N° 842

Question 1
Réponse B : C'est Napoléon 1er qui a donné à Polytechnique son régime militaire, son drapeau et sa devise.

Question 2
Réponse B : Vinton Cerf a mis au point le protocole TCP/IP

Question 3
Réponse A : Pas de high tech dans le soutien gorge, mais pas moins de 54 pièces pour le réaliser.

Question 4
Réponse B : Le pauvre Dirac n'a pas eu l'honneur de voir son nom utilisé pour désigner un élément chimique.

Question 5
Réponse A : C'est bien Christopher Cockerell qui a déposé le brevet de l'Hovercraft.

Question 6
Réponse B : Google indexe environ 2,5 milliards de pages

Question 7
Réponse B : Le conservatoire national des Arts et Métiers date de 1794

Question 8
Réponse A : C'est en 1857 que le premier ascenseur public a été inauguré dans un grand magasin de New-York

Question 9
Réponse C : L'académie des technologies à été fondée in extremis avant le XXI ème siècle, en décembre 2000 !

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