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Le vieux Bill

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Solution de l'énigme du n°873 de décembre 2005


Au lieu de 300 $, le vieux Bill a payé après trois remises successives 222,87 $.

Désignons par a, b, et c, les trois pourcentages correspondants à ces remises.

a, b, et c, sont donc des entiers inférieurs à 100.

Ils vérifient donc l'équation :

300 (1 -  a  ) (1 -  b  ) (1 - ) = 222,87
             100        100        100

Ce qui équivaut à :

(100 - a) (100 - b) (100 - c) = 222, 87 x 10^6 /300 = 742 900

Décomposons 742 900 en facteurs premiers, on obtient :

742 900 = 22 x 52 x17 x 19 x 23

En examinant cette décomposition, on s'aperçoit que la seule façon de regrouper ces facteurs en un produit de trois entiers inférieurs à 100 est :

(2² x 23) (5 x 17) (5 x 19) = 92 x 85 x 95

Ainsi les trois entiers 100-a, 100-b, 100-c, valent dans un ordre indifférent : 85, 92 et 95.

Les trois remises successives sont donc :

15 % , 8 %, et 5 %. Evidemment dans n'importe quel ordre.
Paul Wagner


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