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Le train et les inconnues

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°931 de mars 2011

Rappel de l'énigme

Un train traverse une gare sans s'arrêter.

Il met 5 secondes à passer devant un voyageur immobile qui attend un autre train.

Il met 20 secondes à traverser entièrement la gare, qui fait 450 mètres de long.

On demande la vitesse du train et sa longueur.

Aujourd'hui, devant un tel problème et avec l'enseignement donné dans les collèges et les lycées, notre premier réflexe est de faire de l'algèbre : affecter des inconnues à la vitesse du train ou à sa longueur et poser des équations.

Mais cette méthode algébrique, qui n'a commencé à se répandre en Europe qu'à la fin du seizième siècle alors que les mathématiciens arabes la connaissaient depuis longtemps, n'est pas indispensable.

Il est possible d'atteindre le résultat en raisonnant directement sans les x et les y.

Comment ?


La solution

Pour le train, parcourir "entièrement" la gare représente le laps de temps entre le moment où le nez atteint le début de la gare et le moment où la queue du train quitte la fin de la gare.

En longueur, cela représente donc la longueur du train plus la longueur de la gare.

En temps, cela représente, si l’on suppose que le voyageur est juste en début de quai, le temps nécessaire pour le train pour passer devant le voyageur, plus ensuite le temps mis par la queue pour parcourir la gare.

Le temps mis par le nez, ou la queue, c'est pareil, pour parcourir seulement la gare est donc 20 - 5 = 15 secondes.

Parcourant 450 mètres en 15 secondes, le train fait 30 mètres en une seconde, donc 3 600 fois plus en une heure, soit 108 kilomètres par heure.

Le voyageur immobile voit passer en 5 secondes 150 mètres de train, sa longueur totale.
 

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