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Le pétrolier fou

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Solution de l'énigme du n°872 de novembre 2005


Ce problème de géométrie se résout à l'aide d'un bon dessin.

Rappelons que sur la rose des vents, le nord-est fait un angle de 45° avec l'est, et que la direction est- nord-est est la bissectrice de cet angle.

Bref, si nous représentons la trajectoire du Torrey Canyon II, qui fait route vers le nord, par une droite sur laquelle le pétrolier est au point A à 12 h, et au point B lorsque le sympatique Robertson voit le phare de Bornemouth exactement à l'est, nous obtenons le dessin suivant :



 

ABCD étant un carré, la géométrie nous indique que :

tan (22,5°) = BI  = BI  =     BI
                        BC   AD   (BI + AI)

D'ou l'on tire : BI  =  AI x   tan (22,5 °)    
                                           1-tan (22,5 °)

Et comme les durées des parcours sont proportionnelles aux distances (le pétrolier navigue à vitesse conxtante) :

Durée du parcours IB = durée du parcours AI x  tan (22,5 °)
                                                                                    1-tan (22,5 °)

Soit : 10 minutes x  tan (22,5 °)     =  7,07 minutes
                                 1-tan (22,5 °)

Robertson a donc vu le phare de Bornemouth exactement à l'est à :
 
12 h 17 min et 4 s  (environ)

Mais il existe une solution plus rapide, si l'on se rappelle du théorème dit 'du pied de la bissectrice'

Comme  CI est la bissectrice de l'angle ACB, on peut écrire directement :

  IB  = CB  = 1      d'ou :   IB = IA
   IA     CA     V2                         V2

Ce qui conduit au même résultat, par une méthode plus savante...

Paul Wagner





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