Solution de l'énigme du n°883 de novembre 2006
La balle tombe d'une hauteur de chute initiale de 81 coudées ; après quoi elle rebondit de 1/10e de cette hauteur, puis retombe.
Elle a donc dans ce premier aller-retour parcouru 2/10e de la hauteur de chute initiale.
Elle fait ensuite des allers-retours successifs valant à chaque fois : 1/10e (vers le haut) + 1/10e (vers le bas), de la hauteur précédente, soit 2/10e de la hauteur précédente.
Au total, les rebonds successifs valent donc 2/10e, 2/100e, 2/1 000e, 2/10 000e, etc., de la hauteur initiale.
La somme de ces rebonds est donc : 0,2 + 0,02, + 0,002, + ... Soit : 0,222222...
Que vaut ce nombre infini 0,222222...?
C'est assez facile à trouver sous forme de fraction rationnelle.
En effet, posons x = 0,2222222...
On a : 10 x = 2,222222....
Soit : 10 x = 2 + 0,222222...
10 x = 2 + x
Donc : 9 x = 2
Soit : x = 2/9e
Revenons au neveu de Galilée. La balle a rebondi au total de 2/9e de la hauteur initiale de 81 coudées.
Le total des allers-retours vaut donc 81 x 2/9e = 18 coudées.
Finalement la balle a parcouru, en tenant compte de la chute initiale : 81 + 18 = 99 coudées
Paul Wagner
