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Le Gömböc retombe toujours sur ses pattes !

Jean-François Preveraud

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Le Gömböc retombe toujours sur ses pattes !

Une forme inédite simple et complexe à la fois

© DR

Deux scientifiques hongrois réalisent la modélisation mathématique d’un objet homogène tridimensionnel convexe qui revient toujours sur la même position stable à l’aide du logiciel Maple. Mais certaines tortues utilisent cette propriété depuis des millénaires !

Pour les mathématiciens, un Gömböc est un objet homogène tridimensionnel convexe qui, posé sur une surface plane, n’a qu’un point stable et un point instable d’équilibre. Mais cela fait longtemps qu’ils discutaient, débattaient et s’efforçaient de prouver son existence à l’aide d’équations mathématiques. C’est ce qu’ont réussi à faire en 2007 les deux scientifiques hongrois Gábor Domokos et Péter Várkonyi à l’aide du logiciel Maple.

La forme Gömböc n’est pas unique, elle possède d’innombrables variantes, proches pour la plupart de la sphère, et toutes avec des tolérances de forme très strictes (inférieures à 0,1 mm par 10 cm). La solution la plus célèbre présente une partie supérieure aiguisée, comme illustré ci-dessous.
 

                               


Si l’on place un Gömböc sur une surface plane, posé sur son point d’équilibre stable, il restera dans la même position. « Même si on lui donne une pichenette, il reviendra en position de repos au même point d’équilibre stable », explique Gábor Domokos. S’il est posé sur un point de non-équilibre, il se mettra systématiquement à tourner jusqu’à ce qu’il atteigne sa position d’équilibre stable. En d’autres termes, le Gömböc est un objet à redressement automatique. Tout comme le Culbuto de notre enfance, à la différence qu’il n’est pas lesté, mais homogène.

Un long travail de recherche

Les mathématiciens ce sont vite aperçus que la forme à découvrir était un objet convexe mono-monostatique, un objet tridimensionnel qui, en raison de sa géométrie, n’avait qu’un équilibre possible en position debout. Gábor Domokos et Péter Várkonyi identifièrent une famille d’objets à deux paramètres, présentant tous la caractéristique mono-monostatique voulue. Tous, cependant, n’étaient pas convexes. Le moteur de calcul mathématique Maple fut alors utilisé pour identifier les caractéristiques convexes et démontrer ainsi l’existence de la forme. Le processus passait par une grande quantité de calculs mathématiques complexes et précis, rendus possibles par la puissance de calcul du logiciel.

« La géométrie finale du Gömböc devait être déterminée avec une grande précision. Autrement dit, les détails étaient critiques et nous ne pouvions pas nous permettre d’en manquer », souligne Gábor Domokos. « Maple a été très utile à cet égard. Grâce à lui, les calculs ont pu être plus approfondis et plus sûrs, sa puissance est telle qu’il peut calculer et explorer des détails très sensibles. Ce fut par conséquent le fidèle compagnon de notre démarche exploratoire. »

                           


Déjà la tortue savait

Alors qu’il aura fallut des siècles aux mathématiciens pour exprimer en équations la forme du Gömböc, les deux scientifiques se sont aperçus que deux espèces de tortues disposaient de carapaces ayant une forme de Gömböc. Une intuition confortée par des modélisations 3D de leurs carapaces créées à l’aide de Maple. Ces deux espèces ont ainsi la capacité de se redresser automatiquement, ce qui est crucial pour leur survie.

Jean-François Prevéraud

Pour en savoir plus : http://www.gomboc.eu

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