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Le caissier contrarié

La solution de l'énigme du N°940 de janvier 2012

Rappel de l'énigme

Madame Michu a cédé à une amie un vase dont elle ne se servait pas, mais qui convenait tout à fait au nouvel appartement de cette amie.

Contre la vente, Madame Michu a reçu un chèque. Souhaitant avoir tout de suite la somme en poche, elle porte le chèque à sa banque en demandant d’avoir la somme en liquide plutôt que créditée sur son compte.

Devant cette demande inhabituelle, le caissier se trouble et inverse les Euros et les Cents : il lui verse autant d’Euros qu’il y a de Cents sur le chèque et autant de Cents qu’il y a d’Euros.

Sans se rendre compte immédiatement de l’inversion, Madame Michu fait un achat de 50 Cents. A cet instant, après avoir reçu sa monnaie, elle s’aperçoit qu’elle a en poche trois fois la somme correspondant au chèque.

Supposant qu’elle n’avait rien en poche avant d’aller à la banque, quel était le montant du chèque ?


La solution

Ecrivons que le chèque est de e Euros et c Cents. Pour que l’inversion réalisée par le caissier soit possible, les nombres e d’Euros et c de Cents doivent être chacun inférieurs à 100.

Madame Michu a reçu en réalité : c Euros et e Cents et elle se rend compte après son achat que :

          c Euros + (e – 50) Cents = 3e Euros + 3c Cents

soit en Cents :

          100 c + e – 50 = 300 e + 3 c
          3 c – (e – 50) = 100 c - 300 e
et 3 c – (e – 50) doit être un multiple de 100

D’où seulement 4 possibilités vraisemblables :

• Ou bien
3 c – (e – 50) = 0
donc 3 e – c = 0
e = -25/4 et c = -75/4

• Ou bien
3 c – (e – 50) = 100
donc 3 e – c = -1
e = 47/8 et c = 149/8

• Ou bien
3 c – (e – 50) = 200
donc 3 e – c = -2
e = 18 et c = 56

• Ou bien
3 c – (e – 50) = 300
donc 3 e – c = -3
e = 241/8 et c = 747/8

Comme e et c sont nécessairement entiers, une seule solution subsiste : 18,56 Euros.

Pierre Berloquin

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