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La vérité des deux frères

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°921 de avril 2010

Rappel de l'énigme
 
Deux frères respectent la vérité et la pratiquent chaque jour scrupuleusement. Par contre, au fond d'eux-mêmes ils détestent cette vérité, ne la pratiquant que dans la vie quotidienne, pour s'intégrer plus facilement dans la société et éviter les problèmes dans leur vie professionnelle. 

Aussi, chaque année, pour sacrifier à sa passion secrète, chaque frère s'accorde le droit de mentir le jour de son anniversaire. Ce jour-là, il abandonne toute prétention de respecter la vérité et, tout simplement, il ment, mais bien sûr sans le faire savoir. 

Or il advint qu'à la Saint Sylvestre, dernier jour de l'année, qu'on demande aux deux frères : "Quel est le jour de votre anniversaire ?" 

Le premier répond : "Mon anniversaire était hier". 

Le second répond : "Mon anniversaire est demain". 

Comme le questionneur connaît les attitudes particulières des deux frères vis à vis de la vérité, il se méfie de leurs réponses et, le lendemain premier janvier, il leur pose la même question. 

Il se trouve que les deux frères font les mêmes réponses que la veille. 

Dans ces conditions, quelle est la date d'anniversaire de chacun ?


La solution 
 
Puisque chaque frère ment exactement un jour par an, il doit dire la vérité au moins une fois au cours du problème.

Le premier est donc né le 30 décembre s'il n'a pas menti, ou le 31 décembre s'il a eu le droit de mentir. Mais s'il est né le 30 il n'a pas le droit de mentir le premier janvier en affirmant qu'il est né le 31. Par contre, né le 31, il peut avoir menti et dire la vérité le premier en désignant le 31 comme son anniversaire. Il est donc né le 31.

Symétriquement, le second frère est né le premier janvier ou le 2. Il ne peut qu'être né le premier janvier, avoir dit la vérité la première fois et mentir de plein droit la seconde fois.
 

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