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La tablette d'Altaïr 6

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Solution de l'énigme du n°890 de juin 2007
1) Pour raisonner plus facilement traduisons les symboles extraterrestres dans une écriture qui nous est plus familière. L'addition altaïrienne équivaut ainsi à l'addition :

   a  b  c  d
   c  e  c  d
 a  f  e  d  a


Il y a 6 symboles utilisés.

On a donc B > 6, où B est la base de la numération utilisée.

B étant également le nombre de doigts cherché.

Par commodité découpons l'inscription en cinq tranches verticales numérotées de 1 à 5

 5 4 3  2
   a  b  c  d
   c  e  c  d
 a  f  e  d  a


Notons d'abord que chaque symbole représente un nombre inférieur ou égal à B-1.

La somme quelconque de deux d'entre eux est donc inférieure à 2B-2, ce qui signifie que s'il y a une retenue, elle ne peut être égale qu'à 1.

Notons aussi que s'il y a report de retenue provenant de la tranche précédente la somme sera inférieure ou égale à 2B-1. Cela signifie que dans tous les cas, report de retenue ou non, une retenue dans n'importe quelle tranche ne peut être supérieure à 1.

2) tranche 5

L'unique symbole dans cette tranche est a. Ce ne peut être qu'une retenue. C'est donc un 1, en vertu de la remarque précédente.

a = 1 (1)

3) tranche 1

On a : d + d = a     soit : d + d = 1

Cela prouve d'une part que d est différent de 0, et d'autre part que cette somme donne lieu à une retenue.

On a donc : d + d = B + 1   ou   2d = B + 1, ce qui montre au passage que B doit être un nombre impair.

d =  B + 1 (2)
            2

4) tranche 2

On doit envisager 2 cas, selon que cette tranche donne lieu à l'apparition d'une retenue ou non.

Cas ou il n'y a pas de retenue.
Dans ce cas, compte tenu de la retenue de la tranche 1, on a : 1 + c + c = d

La tranche 3 nous dit alors que b + e = e (pas de retenue) ce qui implique que b = 0, et il n'y aurait pas de retenue reportée sur la tranche 4. Or la somme de la tranche 4 doit engendrer une retenue sur la tranche 5.

On a donc dès lors pour la tranche 4 : a + c = 1 + c = B + f ce qui n'est possible que si c = B - 1 et f = 0.

C'est impossible puisque 0 est déjà représenté par b. Ce cas est donc impossible.

Cas ou il y a une retenue.
Dans ce cas on a : 1 + c + c  = B + d et en remplaçant d par la valeur obtenue dans (2) on obtient finalement : 1 + c +c = B + B+ 1  = 3B + 1  (3)
                                                  2               2

On peut maintenant passer à la tranche 3

5) Tranche 3

On a 1 + b + e = e ou 1 + b + e = B + e (s'il y a retenue) ;

Or il y a nécessairement retenue car dans la première écriture, 1 + e > e

On a donc bien : 1 + b + e = B + e, ce qui conduit à :

b = B -1  (4)

6) Tranche 4

Compte tenu de la retenue précédente et des valeurs déjà déterminées, on peut écrire :
1 + a + c = 2 + c = B + f

La dernière égalité implique que c soit égal à B-1 ou à B-2 (sinon il n'y aurait pas de retenue en tranche 5). La valeur B-1 est déjà attribuée à b, donc c = B-2 et par suite f = 0

7) Reportons maintenant la valeur de c dans la formule  (3). On obtient (enfin !)

1 + 2(B-2) = 3B+1
                           2
dont la résolution conduit à B = 7 et à la table de conversion suivante :

 f      b   d  c  e
 0  1  2 ou 3  4  5  6


On peut regretter l'ambiguïté qui plane sur la valeur de b, mais là n'était pas le problème. On demandait seulement le nombre de doigts, la base de numération.

Quant aux doigts, (tentacules ?, ventouses ?, ...) comment étaient-ils répartis ? L'avenir nous le dira peut-être !
 
Paul Wagner



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