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La stratégie du jeu de mains

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°928 de décembre 2010

Rappel de l'énigme

Ce jeu est précieux car il permet à deux partenaires de jouer silencieusement, quelles que soient les circonstances, éventuellement dans une salle de réunion consacrée à toute autre chose, à condition simplement de pouvoir s'apercevoir.

Chacun son tour lève une main et montre un nombre de 1 à 5, en levant de 1 à 5 doigts. Cela forme ainsi une suite de nombres, chaque nouveau nombre s'additionnant à tous les nombres précédents. Par exemple, le premier joueur lève 1 doigt, le second en lève 3, ce qui fait 4, le premier en lève 4, ce qui fait 8, etc. Il est interdit de passer son tour en ne levant aucun doigt.

La règle du jeu est que chacune des sommes de la suite doit être un nombre premier (divisible par aucun autre nombre). Le premier joueur incapable de lever des doigts s'accumulant pour faire un nombre premier perd la partie.

En fait, le jeu est biaisé car le premier joueur peut gagner à coup sûr s'il s'y prend correctement.

Quelle est la stratégie gagnante du premier joueur ?


La solution

Dans la suite des nombres premiers pouvant être obtenus en levant les doigts d'une main, 23 est un nombre clé car il est à plus de 5 doigts du nombre premier suivant : 29.

Le but est donc d'être celui qui atteint 23 car l'adversaire sera incapable d'atteindre 29 et perdra la partie.

Or si l'on force l'adversaire à atteindre 13, on pourra dire 17, ce qui l'oblige à dire 19, qui nous ouvre 23.

De même, en disant 5 au début, on le force à atteindre 7, ce qui nous permet d'atteindre 11, d'où il ne pourra qu'aller à 13.

La stratégie gagnante du premier joueur consiste donc à lever les 5 doigts de la main.
 

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