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La percée du calcul symbolique

Thomas Blosseville

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En complément des méthodes numériques, le calcul symbolique prend son envol pour faire face à la complexité croissante des modèles mathématiques. Les éditeurs s'affrontent.

Il faudra désormais compter avec lui ! Maplesoft, l'éditeur du logiciel de calcul Maple, veut s'imposer dans les bureaux d'études. Voilà des années qu'il fournissait à son concurrent The Mathworks, éditeur de Matlab et spécialiste du numérique, une boîte à outils de calcul symbolique. En juin, il redistribuait les cartes en annonçant la fin de cet accord. La raison de ce revirement ? Le calcul symbolique fait l'objet d'un intérêt croissant pour la modélisation mathématique.

Pour déloger The Mathworks, déjà bien implanté dans les applications industrielles, Maplesoft veut capitaliser sur son savoir-faire en méthodes symboliques et prépare la sortie de son premier logiciel de modélisation par schémas blocs, Maplesim. Cette percée du symbolique suit l'essor de la modélisation multiphysique. Entendez par là le couplage, dans les modèles, de disciplines comme la mécanique, la thermique, l'électrique ou le contrôle-commande. Face à cette complexification des problèmes, s'estompe le sentiment selon lequel les classiques techniques de calcul numérique, spécialité de The Mathworks, pourraient suffire. Le calcul symbolique, qui repose sur la manipulation formelle des équations, ouvre une alternative. Et non des moindres ! Contrairement au numérique, qui se contente d'algorithmes attribuant des valeurs aux inconnues, les méthodes symboliques représentent de façon exacte les systèmes d'équations et les simplifient par des opérations mathématiques : changement de variables, élimination membre à membre... « Elles réduisent les étapes de calcul », assure Benoît Vidalie, le directeur de Maplesoft France et Suisse. Il revendique ainsi une division par dix du nombre d'opérations nécessaires à la résolution d'un problème.

Des logiciels de calcul selon le besoin

Le secteur automobile est le précurseur en matière de logiciels mathématiques. Pour évaluer, par exemple, les contraintes sur les disques d'embrayage, la transmission de la pression lors du freinage, ou pour modéliser l'arrêt du moteur. Aujourd'hui, le spectre des industries concernées continue de s'étendre : aéronautique, défense, énergie, chimie, horlogerie, biotechnologies... Pas pour n'importe quelle application, car tous les logiciels de calcul ne ciblent pas les mêmes besoins. Un outil comme Mathcad, par exemple, en misant sur la documentation des feuilles de calcul et l'intégration dans un logiciel de gestion d'entreprise (Windchill), concurrence plutôt le tableur Excel pour réaliser des statistiques. Matlab vise, quant à lui, des opérations plus lourdes comme l'inversion de matrices de 10 000 par 10 000 éléments, pour la résolution de systèmes d'équations. C'est cette cible que Maplesoft vise avec Maple, et son nouveau logiciel Maplesim. Il s'agit d'offrir une approche simplifiée d'un problème avant d'utiliser un code de simulation, d'évaluer les lois de variation des variables, les constantes de la physique...

« Maplesim est notre premier logiciel de modélisation multidomaines par composants physiques. Il vient principalement concurrencer le produit Simulink proposé par The Mathworks. Le principe est de représenter les systèmes dynamiques sur Maplesim, puis de générer et résoudre les équations avec Maple », décrit Benoît Vidalie. Le nouveau-né exploite donc directement le calcul symbolique.

Comme son concurrent Simulink, Maplesim modélise les systèmes par jonction de blocs élémentaires. Cependant, là où l'outil Simulink utilise historiquement des éléments de type contrôle, comme les gains ou les dérivateurs, il se veut, selon ses concepteurs, "un outil plus intuitif ". Pour cela, Maplesim comprend des composants standards correspondant à des réalités physiques de mécanique 1D (frottements, efforts, embrayage...) ou 3D (polyarticulée), de thermique (source de chaleur, couplage avec la mécanique...), d'électricité (résistance...). On y trouve également des modèles de poutres souples, de capteurs (pression, température, vitesse...). Sans oublier les blocs de contrôle-commande. Le module hydraulique est en cours de développement. Au final, l'objectif est de faciliter une représentation du modèle mathématique au plus proche de la physique.

La concurrence n'a pas attendu

Intuitif certes, mais face aux modèles multiphysiques, le concurrent visé, The Mathworks, n'a pas attendu pour étoffer les possibilités de son logiciel Simulink. Bien au contraire. Il ne se contente plus des éléments de type contrôle. Depuis peu, son évolution s'est même intensifiée avec l'ajout de bibliothèques en électronique (cette année), en hydraulique (2006), pour les chaînes cinématiques (2004), en mécanique (2001). « Le défi des ingénieurs est aujourd'hui d'associer l'informatique, le contrôle, la mécanique et l'électronique. Depuis 2007, nous proposons une plate-forme commune qui permet d'associer ces bibliothèques », rappelle Steve Miller, responsable marketing technique chez The Mathworks. Tandis que Maplesoft veut faire de ces bibliothèques les briques standards de son nouveau produit, The Mathworks joue plutôt la flexibilité : les modules compris dans ses licences sont adaptés au besoin du client. Il restait simplement à laisser la possibilité à l'utilisateur de créer ses propres blocs pour étendre les bibliothèques existantes ou en créer de nouvelles, comme en pneumatique ou en électrochimie. C'est chose faite depuis cet automne pour The Mathworks. Maplesoft l'a également prévu dans Maplesim.

Les deux éditeurs ont donc clairement mis le cap sur le multiphysique et la différence devrait au bout du compte se faire sur leur maîtrise du symbolique. « Notre avenir passe par des avancées conjointes dans nos compétences historiques en numérique, et aussi dans le calcul symbolique », reconnaît, pour The Mathworks, Steve Miller. En la matière, le spécialiste Maplesoft possède une longueur d'avance. Non seulement les modèles de Maplesim sont résolus par Maple, conçu spécifiquement pour le symbolique. Mais en plus, Maplesoft prépare déjà l'avenir. Abordé par Toyota, il a constitué un consortium réunissant industriels et laboratoires pour préparer le futur du calcul symbolique. Depuis sa création l'an passé, le consortium s'est réuni à trois reprises, une fois par semestre. « Les discussions ne font que débuter. Elles portent pour l'instant sur la définition de nouvelles méthodes de résolution. Mais des groupes de travail prendront ensuite le relais », précise Benoît Vidalie.

Pour preuve de l'importance croissante du calcul mathématique, un nouveau venu pointe à l'horizon. L'Institut national de recherche en informatique et en automatique (Inria) a déjà développé, en logiciel libre, un outil de calcul - numérique pour l'instant - Scilab, analogue à Matlab, et un second de modélisation par schémas blocs, comparable à Simulink. Pour améliorer leurs ergonomies, l'Inria a lui aussi formé un consortium, au sein duquel il recense notamment le CEA, le Cnes, PSA, Renault, l'Institut français du pétrole, EdF. « Le programme s'est terminé en 2007 et a permis la refonte totale du noyau du logiciel. Avec une nouvelle interface graphique et une modulation du code pour en faciliter la maintenance et s'ouvrir aux contributions extérieures », résume Claude Gomez, le directeur du consortium.

Tout l'enjeu consiste désormais à adapter l'outil au calcul haute performance. « Par exemple pour étendre la précision, qui pour l'heure est à 16 chiffres », complète Claude Gomez. Une nouvelle phase a donc débuté en juillet dans le cadre du pôle de compétitivité Systematic. L'objectif est de rendre le consortium autonome financièrement dans les quatre ans, en réalisant des services et des formations. Et ensuite d'industrialiser les logiciels. « Outre leur gratuité, nous misons sur une collaboration avec les entreprises pour développer exactement ce qu'elles souhaitent », dit Claude Gomez.

Le symbolique doit confirmer

En misant dès à présent sur le calcul symbolique, et même si son nouveau logiciel en est encore aux derniers tests de validation, Maplesoft entend prendre ses concurrents de vitesse. « Il est un peu tôt pour estimer le potentiel de gain en performance », admet Benoît Vidalie. Pour un modèle à 22 degrés de liberté d'un véhicule à quatre roues, une version préliminaire de Maplesim a tout de même réduit le jeu d'équations nécessaires au calcul lors d'un concours de design nord-américain. « La résolution a tourné avec un temps de cycle de 50 microsecondes, contre une milliseconde avec les solutions classiques », se félicite Benoît Vidalie. Un symbole qu'il faut maintenant matérialiser.

LA PROBLÉMATIQUE

- L'avenir de la conception passe par des modèles couplant les disciplines et imposera des logiciels souples d'utilisation. - En attribuant des valeurs aux variables, les procédures numériques, largement répandues dans l'industrie, résolvent efficacement les systèmes d'équations. Mais peuvent faire perdre de vue la réalité physique des phénomènes. - De son côté, le calcul symbolique, ou formel, manipule littéralement les expressions mathématiques. Il simplifie les équations, tout en conservant leur sens physique. Mais leur résolution optimale requiert tout de même des schémas numériques.

IL DONNE DES AILES AUX MODÈLES MULTIPHYSIQUES

Au plus près de la réalité du système - L'accent est mis sur le réalisme du modèle. Des bibliothèques de blocs standards intègrent les composants physiques (électriques, mécaniques, thermiques...) aux fonctions de contrôle-commande. L'utilisateur peut créer ses propres blocs à partir des équations de la physique. Ou en regrouper plusieurs dans un même ensemble, par exemple pour les mécanismes polyarticulés. L'ajout des méthodes symboliques aux numériques favorise la résolution de systèmes réunissant équations algébriques et différentielles. Une représentation "matérielle" - Dans la modélisation par schémas blocs, un système dynamique se représente par jonction de ses composants physiques (ici un ressort, un bras de suspension, des supports, un actionneur pilotable). Le jeu d'équations correspondant est automatiquement généré, et simplifié grâce au symbolique sous la forme la plus rapide à résoudre. La notion d'unité - Maple manipule les unités physiques, ce que tous les logiciels numériques ne font pas. Les conversions sont faites automatiquement. Surtout, posséder les unités facilite l'analyse des résultats.

ON REVIENT AU BON SENS PHYSIQUE"

JEAN-LOUIS LIGIER, RESPONSABLE INGÉNIERIE AVANCÉE CHEZ RENAULT

Industrie et Technologies : Qu'attendez-vous du logiciel mathématique de demain ? Jean-Louis Ligier : Dans une époque où l'on a de plus en plus de codes de simulation par les éléments finis, garder un esprit critique oblige à connaître exactement ce que l'on modélise. Avec le calcul symbolique et la manipulation formelle des équations, on en revient au bon sens physique. En particulier pour analyser la sensibilité du modèle, par exemple à la gravité.I. T. : Comment choisissez-vous vos outils de calcul ? Jean-Louis Ligier : Nous cherchons sans cesse à améliorer nos modélisations pour réduire les temps d'essais, en hydraulique, thermomécanique, fatigue et tribologie. En complément de logiciels de simulation comme Abacus, Nastran, Fluent ou StarCD, nous utilisons surtout, pour le calcul, Matlab et Maple. Matlab est largement utilisé, car il a longtemps été le plus performant pour lire les fichiers de données. Mais Maple s'est considérablement amélioré dernièrement en numérique. Il y ajoute le symbolique, qui permet de simplifier les équations.I. T. : Le symbolique supplantera-t-il le numérique ? Jean-Louis Ligier : Par le passé, on a cru que le tout numérique pourrait fonctionner. Aujourd'hui, la conception en vient à croiser les domaines. Le symbolique se montre indispensable pour se rapprocher de la physique, mais le numérique reste fondamental pour la résolution des modèles. Les deux vont de pair.

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