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La logique des yeux fermés

Pierre Berloquin

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La solution de l'énigme du N°948 d'octobre 2012 

Rappel de l'énigme

Je possède deux petits sacs qui ont un contenu identique. Il y a dans chacun quatre billes rouges, quatre billes vertes et quatre billes bleues.

En fermant les yeux, je plonge la main dans le premier sac et en retire exactement assez de billes pour être certain de prendre : 
 

  • au moins deux billes d'une même couleur ;
  • au moins une bille d'une autre couleur.


Sans les regarder, je mets ces billes dans le second sac.

Enfin, toujours sans regarder, je transferts du second sac dans le premier, suffisamment de billes pour être certain que celui-ci aura au moins une bille de chaque couleur.

Dans ces conditions, combien reste-t-il de billes dans le deuxième sac ?


La solution

La première opération exige de prendre cinq billes dans le premier sac, puisque au pire quatre d'entre elles sont de la même couleur et une cinquième est nécessaire pour assurer la présence d'une deuxième couleur. Cela peut se réaliser de quatre manières, en appelant A, B et C les couleurs, qui sont logiquement interchangeables et aboutissant à laisser dans le premier sac :
 

  • Soit : 0 A, 3 B et 4 C donc dans le second sac 8 A, 5 B et 4 C ;

  • Soit : 1 A, 2 B et 4 C donc dans le second sac 7 A, 6 B et 4 C ;

  • Soit : 1 A, 3 B et 3 C donc dans le second sac 7 A, 5 B et 5 C ;

  • Soit : 2 A, 2 B et 3 C donc dans le second sac 6 A, 6 B et 5 C.


Dans ces conditions, seul le premier cas pose un problème, puisque dans les autres cas il reste une bille de chaque couleur dans le premier sac. Par contre ,dans le premier cas, il peut être nécessaire de transférer jusqu'à 10 billes du second sac dans le premier pour y assurer 1 bille de chaque couleur, les 9 premières pouvant au pire être toutes de couleurs B et C. Le premier sac contiendra donc 7 billes.

Pierre Berloquin

 

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