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Solution de l'énigme du n°870 de septembre 2005
Soit x, y et z, les prix des trois articles.
Nous sommes en présence d'un système de deux équations à trois inconnues, puisque :
xyz = 5,70  (1)
x + y + z = 5,70 (2)
Que faire ?
Raisonnons d'abord en centimes pour n'avoir affaire qu'à des nombres entiers :
Cela revient à multiplier la première équation par 106 et la seconde par 100. On peut écrire :
XYZ = 57 105  (3)
X + Y + Z = 570
Où X, Y et Z sont des entiers de 3 chiffres (au maximum).
On remarque que forcément X, Y, et Z sont < 570
Considérons l'équation (3).
Si on décompose le second terme en ses diviseurs premiers on a :
XYZ = 19 x 3 x 55 x 22  = 19 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 2x 2 x 2 x 2 x 2   (4)
 
La (ou les) solution du problème se trouve donc parmi toutes les façons de recombiner les 12 facteurs premiers ci-dessus en un produit de trois facteurs.
Il y a beaucoup de façons de le faire (par exemple : (19x5x2x2) (3x5x5x2)(5x5x2x2)). Les énumérer toutes serait fastidieux.
Remarquons alors le fait suivant : dans ces 3 facteurs il y en a au moins un qui comporte le couple 5 x 5, puisque il faut distribuer 5 fois le chiffre cinq dans ces trois facteurs. Autrement dit, l'un des trois facteurs (X, Y ou Z) est divisible par 25. Supposons que ce soit X (cela n'a pas d'importance). X s'écrit donc X = 25 x P.
Or nous savons que X < 570.
Cela signifie que P est forcément plus petit que 23 (car 23 x 25 = 575)
Les décompositions possibles de X ont donc la forme 25 x P ou P prend toutes les combinaisons de facteurs contenus dans (4), mais de telle sorte que le produit de ces facteurs reste inférieur à 23.
Ces combinaisons ne sont pas trop nombreuses. On trouve :
P = 19  (19 x 2 serait trop grand) ;  P = 5 (P = 5 x 5 serait trop grand); P = 5 x 3 ; P = 5 x 2 ;
P = 5 x 2 x 2 ; P = 3 ; P = 3 x 2 ; P = 3 x 2 x 2 ; P= 2 ; P = 2 x 2 ; P = 2 x 2 x 2 ; et
P = 2 x 2 x 2 x 2
Les valeurs de X possibles sont donc :
25 x 19 ; 25 x 5 ; 25 x 5 x 3 ; etc. Soit :
X = 475 , 125 , 375 , 250 , 500 , 75 , 150 , 300 , 50 , 100 , 200 , 400
Revenons maintenant à x. Les valeurs possibles sont donc par ordre croissantes :
0,5 ; 0,75 ; 1 ; 1,25 ;1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,75 ; 4 ; 4,75 et 5
Lesquelles de ces valeurs de x vérifient à la fois (1) et (2) :
On doit maintenant résoudre plusieurs systèmes de 2 équations à deux inconnues ce qui est facile. D'autant que ces équations se résument à la somme S et au produit P de deux nombres.
Les racines sont donc solution de X2 - SX + P = 0 dont le déterminant est la racine de S2 -4P
Pour x = 0,5 on a par exemple:  y + z = 5,70 - 0,5 = 5,2  et
     yz = 5,70 / 0,5 = 11,4
soit : y + z = 5,2
et         yz = 11,4
dans ce cas : S2 - 4P = 5,22 - 4 x 11 qui est négatif, il n'y a pas de solution.
Pour x = 1,5 (autre essai, par exemple) on a :
y + z = 4,20
yz = 3,8
Et  S2 - 4P = 4,22 - 4x3,8 = 17,64 - 15,2 = 2,44 dont la racine est : 1,5620499...
Ce n'est pas une valeur entière, pas de solution.
L'examen de toutes les valeurs possible montre qu'il n'y a qu'une seule solution : x = 1,25
En effet dans ce cas :
y + z = 4,45
yz = 4,56
Et  S2 - 4P = 4,452 - 4 x 4,56 = 19,8025 - 18,24 = 1, 5625 qui à pour racine 1,25
On trouve donc :
y = (S - 1,25)/2  = (4,45 - 1,25)/2 = 1,60
Et z = (S + 1,25)/2  = (4,45 + 1,25)/2 = 2,85
Les prix des trois articles en Yuan sont donc :
x = 1,25   y = 1,60  et  z = 2,85
Vous pouvez vérifier comme ce pauvre Jean-Marie Fouin :
1,25 + 1,60 + 2,85 = 5,70
Et  1,25 x 1,60 x 2, 85 = 5,70

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