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La gourmette

Rédaction Industrie et Technologies

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Solution de l'énigme du n° 879 de juin 2006


Avec ce problème nous voici confronté au fameux principe d'Archimède. "Tout corps plongé dans un liquide suibit une poussée verticale exercée de bas en haut, égale au poids du volume d'eau déplacé par la partie immergée".

Une façon plus explicite de considérer le principe, et qui nous permettra de résoudre notre problème, consiste à l'appliquer à un corps flottant. Un bateau par exemple. Imaginons-le à l'équilibre sur une mer calme. Il flotte car il est plus léger que l'eau. A quelle profondeur s'enfonce-t-il ?

Le principe d'Archimède nous dit que le bateau s'enfonce dans l'eau et arrête de s'enfoncer au moment où le volume immergé du bateau (celui qui est sous la ligne de flottaison) est tel que si ce volume était rempli par de l'eau, ce volume d'eau aurait exactement le poids du bateau.

Imaginez que l'on puisse retirer le bateau en laissant un trou dans l'eau, sa trace en quelque sorte. Le trou est bien le volume qu'occupait la partie immergée de la coque. Appelons ce volume v. Pour remplacer le bateau en gardant l'équilibre ( pour que niveau de l'eau ne bouge pas) il faudrait tout simplement remplir ce trou avec de l'eau. Autrement dit par un volume d'eau égal à v. Le volume d'eau v pèse exactement le poids du bateau. Evidemment ce volume est moins grand que le volume entier du bateau puisque le bateau est plus léger que l'eau (Sa densité est inférieure à 1).

Une autre façon d'exprimer le principe d'archimède est donc de dire qu'un corps flottant déplace un volume d'eau (le volume du trou qu'il fait dans l'eau) dont le poids  est égal au sien (ou déplace son propre poids en eau).

Il en est ainsi du fauteuil avec tout ce qu'il contient, Sergeï et sa gourmette. Le fauteuil est enfoncé dans l'eau et déplace un certain volume. A l'équilibre repérons le niveau de l'eau par un trait sur le bord émergeant de la piscine.

La gourmette participe au poids du fauteuil. Elle déplace donc un petit volume v' d'eau qui  est égal à un volume d'eau que pèserait le poids de la gourmette.

Si on enleve la gourmette du bateau, au moment ou elle est dans l'air par exemple (ou si Sergueï la jettait sur le bord), le fauteuil plus léger remonte (il s'enfonce moins). Dès lors, le niveau de la piscine baisse un peu pour que l'eau occupe le petit volume v' libéré par la remontée du fauteuil. Disons que l'eau baisse d'une petite hauteur h.

Mais la gourmette est tombée dans l'eau. Et dans l'eau, au fond de la piscine, elle occupe son propre volume v", ce qui fait remonter le niveau de l'eau d'une hauteur d.

Il s'agit de savoir si d est supérieur, inférieur ou égal à h.

Or la gourmette est tombée au fond ! Elle est donc plus lourde que l'eau. Donc son volume propre est plus petit que le volume d'eau qui pèserait le poids de la gourmette. Donc d est plus petit que h. Et le niveau de l'eau remonte moins qu'il n'a baissé quand la gourmette a quitté le fauteuil.

Donc au final le niveau de la piscine a baissé (légèrement, cela va sans dire).

Une autre façon plus rapide de donner la réponse consiste à dire : que la gourmette déplace un volume d'eau plus grand quand elle est dans le fauteuil que quand elle est dans l'eau.

Donc l'eau est plus haute quand la gourmette est dans le fauteuil que quand elle est dans l'eau !

Le niveau de l'eau est donc bien descendu.

Paul Wagner

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