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La diva

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Solution de l'énigme du N°903 de septembre 2008


Le premier jour Kurt coupe une tranche de 1 cm qu'il donne à la diva. Le lendemain, il coupe une tranche de 2 cm. Il la donne à la diva en reprenant le premier morceau (de 1 cm). Le troisième jour, il ne coupe rien. Il donne en plus le morceau de 1 cm (1 + 2 = 3).

Le 4e jour, il coupe un morceau de 4 cm qu'il donne à la diva en reprenant tous les autres.

Pour les 5e, 6e et 7e jours, il dispose de ce qu'il faut (1 cm et 2 cm) pour payer la diva.

Le 8e jour, il coupe un morceau de 8 cm (et récupère tous les autres). Il a ainsi de quoi la payer jusqu'au 15e jour. Il lui faudra ensuite couper un morceau de 16 cm.

Et ce sera tout (il restera un morceau de 9 cm).

On voit qu'il suffit de couper des morceaux selon les puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16 cm) pour pouvoir payer chaque jour sans couper davantage.

Cela s'explique par la propriété bien connue : 2n = 1 + 21 + 22 + 23...+2 n-1

Le problème est donc résolu, quelle que soit la longueur du lingot.

Précision : lorsque Kurt a coupé les morceaux de 1, 2, 4, 8 et 16 cm (au total 31 cm), il lui reste un morceau de 9 cm. L'ensemble des morceaux faisant au total 40 cm, il lui suffira, pour payer du 32e au 40e jour, de donner tous les morceaux, moins 8 cm pour le 32e, moins 7 cm (1+2+4) le 33e, etc., jusqu'au 40e jour.

Au final Kurt, n'a coupé que 5 fois le lingot (donc en 6 morceaux) les deux plus grands mesurant 16 et 9 cm.

Paul Wagner

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