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La carte perdue

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°924 de juillet 2010

Rappel de l'énigme

Voici un problème de cartes à jouer particulièrement arithmétique.  

Prenons les neuf cartes sans figure d'une couleur, de l'As au Neuf.

Cela nous donne une suite de neuf valeurs, de 1 à 9, dont la somme est :  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45  

On ôte une carte de l'ensemble.

Sur ce qui reste, on observe deux choses : 
 

  • La première est qu'on peut faire trois groupes de cartes dont les sommes des valeurs sont les mêmes. 
     
  • La seconde est qu'on peut aussi faire quatre groupes dont les sommes des valeurs sont les mêmes. 
     

Ces deux observations suffisent pour déterminer quelle carte a été ôtée. 

Quelle est cette carte ? 


La solution

La somme globale étant 45 au départ, et la somme des cartes restantes devant être divisible par 3 pour pouvoir faire 3 groupes de sommes égales, la valeur de la carte ôtée est nécessairement divisible par trois. Elle ne peut être que 3, 6 ou 9. 

Par contre, la carte une fois ôtée, le reste doit aussi être divisible par 4. Or 3 et 6 laissent des sommes de 42 et 39, non divisible par 4, alors que 9 laisse 36, parfaitement divisible par 4.

Il reste à faire de multiples essais pour vérifier que les groupes peuvent effectivement être formés.

On y parvient avec : 
 

  • 7 - 5 ;    6 - 4 - 2 ;    8 - 3 – 1  

    et
     
  • 8 - 1 ;   7 - 2 ;   6 - 3 ;   5 – 4  

 

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