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L'héritage de Yakasaké

Rédaction Industrie et Technologies

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Solution de l'énigme du n°860 de septembre 2004
Ce problème n'est pas compliqué à résoudre à condition de le prendre par le bon bout.
Appelons n le nombre des filles de Yakasaké.
La première prend 1 perle, puis 1/7 de ce qui reste dans le sac après avoir pris la perle,
La seconde prend 2 perles, puis 1/7 de ce qui reste dans le sac après avoir pris les 2 perles,
...
La nième prend n perles,puis 1/7 de ce qui reste dans le sac après avoir pris les n perles.
Le point clé est que, lorsque la dernière fille (la nième) s'est servie, il ne reste rien dans le sac.
C'est donc forcément, pour qu'il ne reste que zéro perle à la fin, qu'il n'y avait déjà plus rien, lorsque, après avoir pris ses n perles, la nième fille a voulu prendre 1/7 de ce qui restait (sinon il aurait forcement resté quelque chose dans le sac).
Donc la dernière fille (la nième) a pris n perles... et c'est tout.
Comme toute les fille ont eu la même part, chacune a eu n perles.
Comme il y a n filles, le nombre de perles total est n x n = n2
Bien.
Intéressons nous maintenant à l'avant dernière fille la n-1éme .
Elle à tiré n-1 perle puis 1/7 de ce qui restait dans le sac. Mais a la fin elle a aussi obtenu n perles.
Après en avoir tiré n-1, il lui en manquait une. Donc les 1/7 de ce qu'elle a tiré valait 1. Il y avait donc forcément 7 perles restantes dans le sac quand elle a tiré sa part supplémentaire (1/7ème du reste). Si vous préférez : x / 7 = 1 donc x = 7)
Donc puisque il y avait 7 perles quand elle s'est resservie une, elle en a laissé forcément laissé 6 à sa dernière sœur, qui elle, comme on l'a vu, les a toutes prise,. La dernière sœur à donc pris 6 perles c'était donc la 6ème sœurs.
Yakasaké avait donc 6 filles !
Et son sac contenait n2 perles, soit 36 perles !
Refaites donc le partage du début :
La 1ère fille prend 1 perle sur les 36. Il en reste 35, dont elle prend 1/7 soit 35/7=5.
Elle a 1 + 5 perles = 6 !
Elle laisse 35 - 5 = 30 perles.
La deuxième en prend 2, il en reste 28, elle en prend 1/7... et oui, ça marche jusqu'au bout !

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