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Equations pour tous

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°923 de juin 2010

Rappel de l'énigme

Trois personnes sont ensemble : Abel, Béatrice et Claude.

Comme ce sont des passionnés d'arithmétique, ils comparent leurs âges et remarquent de curieuses relations :   L'âge d'Abel est égal à l'âge de Béatrice, augmenté de la racine cubique de l'âge de Claude.  L'âge de Béatrice est égal à l'âge de Claude augmenté de la racine cubique de l'âge d'Abel, plus quatorze ans.  L'âge de Claude est égal à la racine cubique de l'âge d'Abel, augmenté de la racine carrée de l'âge de Béatrice. 

Quels sont donc les âges de ces trois personnes ? 

Vue de l'extérieur, cette situation semble exiger de poser des équations algébriques dont les degrés montent rapidement vers les étages supérieurs.

Néanmoins, en prenant le problème simplement, le bon sens peut mener rapidement à une solution.  

Laquelle ?


La solution

L'important est de remarquer que ce sont des âges d'êtres humains, donc des nombres entiers limités en grandeur à la durée normale d’une vie. 

L'âge d'Abel, dont ont doit extraire la racine cubique pour obtenir l’âge de Béatrice ou de Claude, ne peut être que 1, 2, 3, 4 ou 5, dont les cubes sont 1, 8, 27, 64 ou, à la rigueur, 125. 

L'âge de Beatrice, dont ont doit extraire la racine carré pour obtenir l’âge de Claude, est au maximum le carré de 11, soit 121. 

Dans ces conditions, la troisième affirmation donne un point d'entrée. L'âge de Claude, un cube dont on extrait la racine cubique pour déterminer l’âge d’Abel, est la somme d'une racine cubique, au plus égale à 5 et d'une racine carrée, au plus égale à 11. Ne pouvant donc être ni 1 ni 27 ou plus, il est égal à 8.

Cela permet d'écrire les deux premières affirmations : 
 

  • A = B + 2 
     
  • B = 8 + racine cubique de A + 14  
     

d’où l’on tire l’affirmation suivante :  
 

  • A = racine cubique de A + 24


L'âge d'Abel est donc 27, seul nombre valant sa racine cubique plus 24.

On déduit de la première affirmation que l'âge de Béatrice est 25, ce qui est bien un carré.

En résumé : Abel a 27 ans, Béatrice a 25 ans et Claude à 8 ans.

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