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Chasse aux aiguilles

Jean-François Preveraud
La solution de l'énigme du N°930 de février 2011

Rappel de l'énigme

Les montres et les pendules traditionnelles, qui affichent l'heure avec trois aiguilles, sont plus fascinantes que les écrans à affichage digital qui se trouvent maintenant sur la plupart des gadgets.

L'intérêt des cadrans à aiguilles est que chacune des trois aiguilles a son propre rythme.

L'aiguille des heures fait un tour du cadran en douze heures. Pendant ce temps l'aiguille des minutes en fait douze fois le tour et l'aiguille des secondes 12 * 60 = 720 fois le tour.

Quand la demi-journée de douze heures commence, les trois aiguilles coïncident exactement, à la verticale, en pointant sur le chiffre douze. Par la suite, inévitablement, les aiguilles se croisent les unes les autres.

Au cours de ces croisements, combien peut-on en compter où les trois aiguilles coïncident à nouveau exactement, comme à l'instant du départ ?


La solution 

Si l'on ne compte pas le départ, où les trois aiguilles coïncident à l'heure zéro zéro zéro, l'aiguille des minutes passe au-dessus de l'aiguille des heures une fois lors de chacune des heures qui suivent et l'aiguille des secondes passe au-dessus de celle des heures à chacun de ses tours sauf au début.

L'important est de remarquer que les superpositions heures et minutes se font à intervalles réguliers, mais que l'aiguille des minutes est en retard sur celle des heures, qu'elle ne rattrape que dans le cours de l'heure.

Par contre, pour 11 heures, l'aiguille des minutes la rattrape trop tard, quand elle revient à la verticale, c'est à dire au point 0. Il y a donc 11 coïncidences heures/minutes. Il en va de même pour les rattrapages des minutes par les secondes, qui interviennent 719 fois et non pas 720 fois puisque le dernier correspondrait au premier.

Or 11 et 719 sont des nombres premiers entre eux et partagent le cadran en points qui ne peuvent se recouvrir, sauf au point de départ. Les aiguilles ne peuvent être alignées qu'à midi et à minuit.
 

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