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Solution de l'énigme du n°896 de janvier 2008


Remplaçons, en fin de partie, tous les sous bocks présents, de rayon R, par des sous bocks de rayon 2R placés aux mêmes endroits. Nous pouvons affirmer que ces nouveaux sous bocks couvrent intégralement la table. En effet, s'il restait un espace vide, n'importe quel point de cet espace serait à une distance supérieure à 2R des centres des sous bocks voisins, et donc à une distance supérieure à R des sous bocks initiaux. On pourrait alors ajouter un sous bock supplémentaire dans la disposition initiale, ce qui est impossible (la partie ne serait pas terminée).

Maintenant qu'on a couvert la table initiale (de coté L) avec les grands sous bocks, réduisons le tout d'un facteur 2 : les grands sous bocks deviennent des sous bocks de rayon R, les dimensions de la table deviennent L/2 et L/2, et cette petite table est entièrement couverte par les N sous bocks.

Il suffit alors de juxtaposer 4 petites tables pour obtenir la table initiale, qui sera donc couverte avec 4 N sous bocks de rayon R !

Evidemment si la table est rectangulaire, ça marche aussi.

Cela étant, la table peut avoir d'autres formes. L'argument est le même : en fait, il suffit que la table puisse être "pavée" par 4 tables identiques deux fois plus petites.

C'est vrai quand elle est carrée, rectangulaire, triangulaire équilatérale, mais aussi si elle a des formes moins conventionnelles, par exemple :



Paul Wagner

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